研究无穷指数函数的一种新方法，将一个（无穷）指数函数转换成另一个指数函数

2025-05-15 来源 : 电影

都只，我想显露了一个奇怪的小技巧，将一个（无穷）乘积转化为另一个乘积。我并不认为即使我们可能一定会通过这种方式为发掘出新的定理，但以新的方式为推导显露旧的真理即使如此很奇怪。

在我们开始在此之后，请回忆一下，我们通过所列方式为下定义拓扑学Zetaformula_：

为了参阅这一新方法，我并不认为最好通过一个举例来说来概述。

让我们考虑一下几何个数：

请注意，为了让乘积发散，我们让z的模小于1。

通过简单的更换，我们可以把它写出：

现今我们有了一个期望。但是为了让这个期望正确地运作，我们需要在两旁同时除以1（你马上就会看到为什么）。

我们得不到：

在这一点上，我们要用一个更换，即z→x/n，相关联的条件是对于某个质数n，n>x。

在这个更换在此之后，我们严格来说可以对两旁的n来进行撤兵，并且比如说：

其中第一个式子是由绝对发散性证明的。我们有：

现今，总结一下，余切formula_有一个有名的乘积表示：

证明这个式子是一个非常好的苦练。这个式子理论上：

现今我们有：

因为通过解析延拓：

我们得不到了一个漂亮的式子：

这个举例来说只是冰山一角。让我们无论如何将这一新方法应用一个略为有不同的乘积，进去它能给我们带来什么。

首先，我们将考虑另一个版本的几何乘积，即交替的几何乘积：

通过两旁以次分，得不到有名的平方根的表达式：

让x=1，以得不到另一个漂亮的式子。

然而，我们现今将把上面的新方法应用这个表达式。乘以-1，在两旁欠缺x，先一次用x/n代替x，得不到：

现今是来进行一些转换的时候了，这需要运用一些对数规则：

你能认显露以次里面的表达式吗？让我们总结一下卡林formula_的魏尔斯特拉斯以次。

其中γ是凯莱-泰森若尼无量纲。我们便就会发掘出，左边的无限以次似乎是一个涉及卡林formula_的表达式。更明确地说，我们有：

这理论上：

但是，朋友们：这似乎是ln(Γ)环绕着点1的克拉克乘积。这是一个众所周知的结果，但得不到它的新方法是通过我们的小技巧。先默默地一步，就可以看到一个同样奇怪的formula_的乘积，它被专指digammaformula_。

通过对两旁来进行微分，我们得不到：

这是由赫尔维茨zetaformula_的克拉克乘积导显露的。至于digammaformula_，这是另一篇文章的内容了（近期）。